“表面积的变化”是苏教版《义务教育课程标准实验教科书数学六年级(上册)》中的一节综合应用课。教材的设计思路源于《数学课程标准(实验稿)》上的案例：
设计合适的包装方式：(1)现有4盒磁带，有几种包装方式?哪种方式更省包装纸?(重叠处忽略不计)(2)若有8盒磁带，哪种方式更省包装纸?(重叠处忽略不计)
应该说教材对此案例进行了细化，循序渐进地编排了“表面积的变化”这一内容。具体编排如下。第二段是“拼拼算算”。教材首先要求学生将2个l立方厘米的正方体拼成一个长方体，感受表面积的变化规律。接着引导学生把3个、4个，乃至更多个1立方厘米的正方体拼成一排，再次探索规律。然后，教材让学生将两个同样的小长方体拼成一个大长方体后寻找变化规律。第二段是“拼拼说说”。教材首先让学生比较用6个l 立方厘米的正方体拼成的两个不同长方体的表面积，发现其中的规律后，再让学生探索把10盒火柴包成一包的不同方法，分析哪种包装方法最节省包装纸。教参上建议该内容用1课寸教学。
在教学实践中，教师普遍认为综合应用领域的课较为难上，主要是因为这部分内容综合性强，思维难度大，教学时间偏紧。但教师们又认为该内容对培养学生解决问题的能力、数学思维的能力大有裨益，在小学数学中应该作为重要内容来教学。基于这样的矛盾心理，我们区数学课题组的教师以此为研究内容，选定“表面积的变化”这一课进行了探索与实践。
初次教学实践
一、拼拼算算
1．教师演示：把两个体积是1立方厘米的正方体拼成一个长方体。
(1)提问：体积有没有变化?
小结：把两个体积是1立方厘米的正方体拼成一个长方体，体积没有发生变化。
(2)提问：表面积有没有发生变化?是怎样变化的?
得出结论：这个长方体的表面积比两个正方体的表面积之和减少了2个正方形面的面积，即减少了2平方厘米。
2．深入探究。
(1)如果用3个这样的正方体拼成一个长方体，表面积比原来减少几个正方形面的面积?(要求排成一排)用4个这样的正方体拼呢?
操作、观察、思考后把数据填在表中，并交流填写结果。
(2)当正方体增加到5个、6个时，表面积会怎么变化呢?
学生先猜，再通过拼一拼来验证。
(3)发现规律：联系操作和填表的过程，你发现了什么规律?
教师要遵循学生的认知规律，由浅人深进行引导：
① 体积不变，表面积变了，按上面的拼法，每拼一次减少2个面的面积；
②按上面的拼法，增加一个正方体，就减少2个正方形面的面积；
③减少的正方形面的个数=拼的次数×2；
④减少的正方形面的个数=(正方体的个数—1)×2。
3．用两个相同长方体拼成三个不同的大长方体，你有什么发现?
(1)交流：①体积不变，表面积变了；②都比原来减少了2个面的面积，但不同的拼
法减少的面积不同。
课件演示三种不同的拼法：分别是减少2个前面、上面和侧面。
(2)你能看出哪个大长方体的表面积最大，哪个最小吗?
(3)怎么验证你的发现呢?(学生通过计算验证自己的发现)
小结：不管怎样拼，每次都会减少两个长方形面的面积；而减少的面积越少，拼成
的大长方体的表面积就越大。
二、拼拼说说
1．用6个体积是1立方厘米的正方体可以拼成不同的长方体。哪个长方体的表面
积大?大多少?
2．找10盒火柴，先在小组里拼一拼，看看把10盒火柴包成一包有哪些不同的方
法?怎样包装最节省包装纸?想想为什么，再全班交流。
教师引导学生具体分析每一种包装方法，适当说明理由。
提问：“怎样包装最省纸”就是什么最少?(拼成的长方体的表面积最小)怎样拼才能
使拼成的长方体的表面积最小呢?
三、全课小结
通过这节实践活动课，你知道了什么?
初次反思
根据教材的编写意图，我们初次设计了上面的教案，先后选择了三位素质较好的老
师进行教学，期间也进行了局部微调，但教学效果不理想。
1． 从教学时间上分析 三位教师都没有上完教学内容，最快的教师上到“拼拼说
说”的第2题，但对该题的教学是蜻蜓点水、匆匆而过，没有留给学生探索和思考的时间，学生一知半解，部分学生一无所获。最慢的教师只上到“拼拼说说”的第l题。
2．从教学空间上分析 由于教学内容较多，教学节奏相对偏快，留给学生探索、
思考和交流的空间很少。在教学过程中，当较好的学生答出要点后，教师就迅速进入下一个教学环节，对后进生的关注较少。
3．从解决问题方面分析 问题解决在具体实施环节上包括五个阶段：第一，问题
的提出和表征；第二，形成假说；第三，执行计划或尝试某种解决方案：第四，检验和反思；第五，应用和拓展。对照这五个阶段，特别是在“拼拼说说”的教学环节中，除提出的问题具有挑战性外，其余阶段的教学不够充分，学生没有经历解决问题的全过程。
4．从数学思考方面分析 思维训练是贯穿在解决问题过程中的，落实在解决问题
的第二、第三和第四个阶段中。思维训练主要靠两个能力。一个是演绎能力，一个是归纳能力。相比较而言，我国双基教育缺少的是归纳能力的培养。由于学生没有经历解决问题的全过程，也就不能培养他们的归纳能力。
5．从教学效果方面分析 综合上面的分析，课题组教师认为，第一次教学实践的效果一般。于是，我们结合学生实际，适当重组教材，以培养学生解决问题的能力和归纳能力为基点，再次进行了教学实践。
再次教学实践
第一课时
一、拼拼算算(按原教学设计进行)
二、拼拼说说
1．解决教材上的问题：用6个体积是工立方厘米的正方体可以拼成不同的长方体。哪个长方体的表面积大了大多少?
学生操作，展示拼法，互相交流，将结果填人表内。
| 拼法 | 长 （cm） | 宽 （cm） | 高 （cm） | 减少失误正方形面的个数 | 减少的面积（cm2） | 表面积（cm2） | 体积（cm3） |
| 1 | 6 | 1 | 1 | 10 | 10 | 26 | 6 |
| 2 | 3 | 2 | 1 | 14 | 14 | 22 | 6 |
引导学生观察，初步发现规律：
(1)用6个体积是1立方厘米的正方体可以拼成2个不同的长方体，长方体的体积不变，表面积变了。
(2)第一种拼法，有5次正方体的两两相拼，每次减少2个面，共减少10个面，表面积比原来减少10平方厘米。第二种拼法，有7次正方体的两两相拼，共减少14个面，表面积比原来减少14平方厘米。
(3)两两相拼的次数多，重叠的面就多，表面积减少越多。
(4)我们知道：当长方形的面积一定，长与宽越接近，周长就越短。由此我猜想，如果用若干个小正方体拼成长方体，长方体的体积一定，那么长、宽、高越接近，表面积是否越小呢?
师：这位同学的猜想很有意思，但是否正确呢?让我们再做一题试一试。
2．补充：用12个体积是l立方厘米的正方体可以拼成不同的长方体。哪个长方体的表面积大?大多少?
| 拼法 | 长 （cm） | 宽 （cm） | 高 （cm） | 减少失误正方形面的个数 | 减少的面积（cm2） | 表面积（cm2） | 体积（cm3） |
| 1 | 12 | 1 | 1 | 22 | 22 | 50 | 12 |
| 2 | 6 | 2 | 1 | 32 | 32 | 40 | 12 |
| 3 | 4 | 3 | 1 | 34 | 34 | 38 | 12 |
| 4 | 3 | 2 | 2 | 40 | 40 | 32 | 12 |
(1)要使所拼成的长方体表面积小，那么小正方体两两相拼的次数就要多，这样重叠的面就多，表面积减少越多。
(2)我认为刚才同学的猜想是正确的，在这里，所拼长方体的体积都是12立方厘米，4号拼法长、宽、高最接近，所以它的表面积最小。
师：仅靠一次验证不能证明猜想的正确性，课后同学们可以用若干个1立方厘米的正方体再拼拼，下节课上再交流好吗?
第二课时
师：同学们对昨天的猜想验证了吗?这个猜想对吗?我们先交流交流。
生1：我用18个1立方厘米的正方体拼长方体，长、宽、高最接近的数据是：长3厘米、宽3厘米、高2厘米，这个长方体的表面积最小。
生2：我用24个1立方厘米的正方体拼长方体，长、宽、高最接近的数据是：长4厘米、宽3厘米、高2厘米，这个长方体的表面积也是最小的。
生3：我用27个1立方厘米的正方体拼长方体，长、宽、高都是3厘米，这个正方体的表面积最小。
师：对这位同学的发言，你们有想法吗?
生4：我们猜想中研究的是长方体，这里却拼成了正方体。
生3：我想解释一下：正方体是特殊的长方体，它的长、宽、高是相等的，表面积是最小的。
生5：我补充一点：我们学过长方形的面积一定时，长与宽相等，正方形的周长最短!，这儿的道理也是一样的。
师：这样解释行吗，你们举的都是正面的例子，有谁还能举出反例吗?(不能)看来，这条猜想是对的。
师：看来，同学们对拼正方体已经有了些心得体会，如果用长方体来拼呢?
出示题目：找4盒火柴，先在小组里拼一拼，看看把4盒火柴包成一包有哪些不同的方法，怎样包装最节省包装纸。
学生试拼，汇总拼法。
师：你们能把这些拼法进行分类吗?
生：我认为可以分成两类：第一类是拼成一排，第二类是拼成两排。
师：4盒火柴包一包，有两类基本的包法，第一类是4=4×1×1，第二类是4=2×2×1，每类包法都还有三种不同的拼法。
师：仔细观察4×1×1的三种拼法，你们有什么发现?
生l：第一种拼法是把大面两两相拼，拼3次，减少了6个大面。第二种拼法是把中面两两相拼，拼3次，减少了6个中面。第三种拼法是把小面两两相拼，拼3次，减少了6个小面。
生2：在这三种拼法中，第一种拼法所拼成的长方体表面积最小。
师：再仔细观察2x2x1的三种拼法，你们又有什么发现呢?
生3：第一种拼法是把大面和大面，中面和中面拼2次，分别减少了4个大面和4个中面。第二种拼法是把大面和大面，小面和小面拼2次，分别减少了4个大面和4个小面。第三种拼法是把中面和中面，小面和小面拼2次，分别减少了4个中面和4个小面。在这三种拼法中，也是第一种拼法所拼成的长方体表面积最小。
生4：最后我们要计算这两个长方体的表面积，比较出哪个长方体的表面积最小。
师：通过分类观察，同学们已经初步获得了拼长方体的一些方法，下面让我们来完成书上的最后一题：找10盒火柴，先在小组里拼一拼，看看把10盒火柴包成一包有哪些不同的方法，怎样包装最节省包装纸。想想为什么，再全班交流。操作时要先想一想有哪几类基本的拼法，再拼一拼。
生1：我们认为有两类基本的拼法，第一类是10=10×1×1；第二类是10=5×2×l，按第一类拼法拼能拼成3个不同的长方体，按第二类拼法拼能拼成6个不同的长方体。
生2：在第一类拼法中，把大面两两相拼9次，减少18个大面所拼成的长方体表面积最小。在第二类拼法中，把大面两两相拼8次，中面两两相拼5次，减少16个大面和10个中面所拼成的长方体表面积最小，然后把这两个长方体进行比较，一般情况下第二个长方体的表面积较小。
生3：我有一个疑问，前面我们已经证明把若干个小正方体拼成一个长方体，这个长方体的长、宽、高越接近，表面积越小。那么，把若干个相同的小长方体拼成一个长方体，是否也有这样的规律呢？
师：同学们这条猜想很有价值，是否正确呢，建议同学们量出长、宽、高的数据后，再用列表的方法一一列举出所拼成的长方体的长、宽、高，计算出表面积后，再观察和验证这条猜想，好吗?这就作为今天的课后作业。
再次反思
《数学课程标准(实验稿)》第二学段综合应用领域的目标是：1；综合运用数与运算、空间与图形、统计与概率等相关知识解决一些简单实际问题的成功体验，初步树立运用数学解决问题的自信心；2．获得综合运用所学知识解决简单实际问题的活动经验和方法；3．初步感受数学知识间的相互联系，体会数学的作用。从再次教学实践效果看，基本达到了这些目标，课题组教师一致认为：学生在充裕的教学时空内，经历了解决问题的五个阶段，发展了数学思维能力，教学设计合理教学效果较好。
综合我们以前所上的一些“综合应用”课的体会，我们认为上好这类课要注意以下四个方面。
一、结合学生实际，适当重组教材
教材是课堂教学的主要资源，上好一节数学课首先要把握教材。上综合应用课也是如此。教师要理清这部分内容的知识层次，明确教材提示的教学活动线索，突破教学内容的重点和难点。其次要把握学生。综合应用课要求学生应用数学知识解决实际问题，对学生的综合能力、思维能力要求较高。在教学实践中，教师在把握教材的基础上，还要根据教学内容的需要和学生现有的知识水平适当重组教材，合理开发教材。我们仔细分析“表面积的变化”这一部分教材内容，应该说教材的编写遵循了学生的认知特点和数学知识的结构顺序，由易到难，分层递进。但教学内容相对于教材上规定的一课时的教学时间显然偏多，没有充分的时间让学生展开探索活动，经历解决问题的过程。因此，我们对课时进行了划分，对教材进行了加工。我们安排了2课时，第一课时安排到“拼拼说说”的第一题，再补充一道同类型题，难度略有提高，既是巩固，又利于学生进行探究性学习。第二课时重点研究“拼拼说说”的第二题，先安排一道较为简单的同类型题，让学生积累解题经验，然后再深入展开研究。这样的调整，从教学实践效果来看还是可行的。
当然，根据学生的实际水平，还可以安排3课时，第一课时安排到“拼拼算算”，第二课时安排到“拼拼说说”第一题，第三课时安排到“拼拼说说”第二题。我们这样的补充和调整可能是拔高了教材的要求，但就综合应用课而言，要想充分发挥其培养学生解决问题的能力、数学思维的能力，我们认为应该对教材深度挖掘。
二、经历解题过程，利于学生思考
“综合应用”本质上是一种解决问题的活动。要解决问题，首先要设计一个好问题，“表面积的变化”一课中的问题源自教材，并适当加工，应该说具有一定的挑战性、探索性和开放性。其次在解决问题的过程中，教师应该充分尊重学生的自主性，引导学生独立思考、自主探索，构思解题计划，发展学生的创新思维。同时，教学时还要使学生在活动中体验与他人合作，并在交流中密切同学之间的关系。在解决问题的过程中，要注意让学生自己分工、讨论和尝试。值得强调的是开展综合实践活动的关键是要让学生积极展开思维活动。一方面，解决问题涉及高级思考过程。在问题解决的过程中，学生尝试寻找“答案”时，不是简单地应用已知的信息，而是对信息进行加工，重新组织若干已知的规则，形成新的高级规则，用以达到一定的目标，并在检验、反思中获得解决问题的方法。原来已有的有关数学知识是解决问题过程中的素材。另一方面，解决问题的学习过程对学生思维品质的发展具有促进作用。在解决问题中，学生会根据解决问题的目的对已经掌握的数学知识进行组织，找出对当前问题适用的对策。问题一旦解决，学生的思维能力随之发生变化。因此“表面积的变化”一课中对“拼拼说说”环节的再设计，其目的正是让学生在经历操作——发现、猜想——验证的解决问题的过程中，发展数学思考。
三、培养归纳能力，提升数学思想
数学的“基本思想”主要是指演绎和归纳，这应当是整个数学教学的主线，是最上位的思想。演绎和归纳不是矛盾的，其教学也不是矛盾的，通过归纳来预测结果，然后通过演绎来验证结果。在具体的问题中，会涉及到数学抽象、数学模型、等量替换、数形结合等数学思想，但最上位的思想还是演绎和归纳。过去双基教育重演绎、轻归纳，所以我们更应重视培养学生的归纳能力。归纳能力是能够熟练使用归纳推理的能力。归 纳推理十分庞杂，就方法而言，包括枚举法、归纳法、类比法、统计推断、因果分析，以及观察实验、比较分类、综合分析。与演绎推理相反，归纳推理是一种从特殊到一般的推理。归纳推理主要包括两种方法，归纳法和类比法。借助归纳推理可以帮助学生培养预测结果和探究的能力。而综合应用课的核心价值就要使学生能在解决问题的过程中积累这两种“基本思想”的体验，而“表面积的变化”的再次实践就是基于此展开的。我们细化了拼拼说说的教学环节，通过枚举、列表、分类等方法初步发现规律，在发现规律的同时引发猜想，并通过举例验证(先举若干正例，又不能举出反例)的方法去证明猜想的正确性，两次设计类似的探究过程，力求通过综合应用课帮助学生形成对这两种“基本思想”的初步体验。
四、设计课外作业，拓展学习方式
综合应用活动可以以课内外相结合的形式进行。这些活动可以通过课堂学习方式完成，也可以要求学生经过一段时间，即所谓的“长作业”来完成。“长作业”是综合应用在课外的延伸。实践与综合应用的形式是多样化的，如小调查、小制作、小课题研究、小研究报告、动手做的活动等。对于小学生来说，让他们经历动手做的活动是非常重要的。动手做活动的基本过程是：提出问题、动手做实验、观察记录、解释讨论、得出结 论、表达陈述。动手做的方法强调学生亲自动手实验和思考，并为理解实验结果而进行讨论。在这一过程中，学生具有一定的自主性。学生通过活动不仅增加了对知识的理解，而且在综合应用知识解决问题的过程中获得了一些基本的数学思想方法，这些对于他们来说是受益终身的。那么，“表面积的变化”一课中学生所采用的学习方式主要是动手做的活动方式，每节课后的作业，都来自学生的猜想，让学生在再次经历动手做的活动中，理解举例验证的方法，体验不完全归纳的思想，将实践活动中的体验逐步积淀成一种数学思想的发展。