案例一
【基本训练】
1．师点击课件出示杂技演员走钢丝的场景图，学生观察。
提问：(1)杂技演员表演得怎么样?与我们在平地上走有什么不同?
(2)你会不会走?他为什么会走?
(小组讨论略)
2．教师表演退着走路：开始不熟练一稍稍熟练一比较熟练。
3．小结：走路，我们习惯向前走，退着走就比较困难，时间长了也会习惯的。想问题也是这样，平时顺着想，倒着想(即平常说的反过来想一想)就难一些，时间长了也会习惯的。经常倒着想，我们就会更聪明。
现在来试一试倒着想的题目，看谁想得好!
【课前准备】
(一)解决问题。
师出示以下三道题：
1．一个长方形长11米，宽5米，它的周长是多少米?
2．一个长方形的周长是32米，它的长是11米，宽是多少米?
3．一个长方形的周长是32米，它的宽是5米，长是多少米?
生分别口述算式，师板书，并引导学生分别列出其计算公式。
(二)比一比，谁是优秀的营业员。
(课件出示)
营业员有2角和5角两种纸币若干张，他要找给顾客5元钱，有几种找法?写出你的方法，并说一说是怎么想的。看谁的方法又好又多。
师根据学生口述，板书：
| 5角（张） | 10 | 8 | 6 | 4 | 2 | 0 |
| 2角（张） | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
生：想到先拿5角的纸币，接下来再依次少拿2张5角的纸币，换成2角的纸币，凑足5元钱。
生：我是先拿2角的纸币，然后再依次少拿5张2角的纸币，换成5角的纸币，凑足5元钱。
师：为什么这样拿好而快呢?
生：这样以一种纸币为主，从多到少凑足5元钱，能保证想得周全，不缺少，不重复。
生：以一种纸币为主，从少到多凑足5元钱也可以。
师：我们刚才进行的这种拿5元钱的方法是一种有序排列，它的好处就是能正确快速地解决问题，而且能做到不遗漏，不重复。
【学习新知】
出示教材上的例1(苏教版五年级上册“解决问题的策略”)。
要求：先读题，然后回答问题。
(1)“用小棒摆一摆。如果长方形的宽是1米，长是8米；如果宽是2米……”你是怎么理解的?
(生发言略)
师：先理解表上的要求，探究有多少种不同的围法，再在小组里交流合作。
展示小组填的表，并说一说自己的想法。
表一
| 长方形的长（米） | 8 | 7 | 6 | 5 |
| 长方形的宽（米） | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 长方形的宽（米） | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 长方形的长（米） | 8 | 7 | 6 | 5 |
师：一共有多少种不同的围法?
生：18÷2=9(米)。9米是围成长方形的长和宽的和。以宽为1米开始想起，长是8米；宽为2米，长是7米……把宽按从小到大排列，共有四种围法。(见表二)
生：以长的大小为顺序排列：长8米，宽1米；长7米，宽2米……共有四种不同的围法。(见表一)
师：这样排的好处是什么?
生：这样排的好处是排得全，排得快，不多不少。
师：有条理地一一列举，能做到不多也不少，即不重复也不遗漏。
这时，教师根据讨论的结果作下面的概括：把9拆分成两个不同加数；(长与宽)的和，A数由小到大，B数由大到小。
师：请同学们算出围成的每个长方形的面积。讨论：比较每个长方形的长、宽与面积，你发现了什么?
小组合作交流。
案例二
【开门见山，探索新知】
师出示例题及场景图，指名读题。
要求：请你根据题意，用自己准备的18根同样长的小棒各自独立围成一个符合要求的长方形，并回答下面的问题：
1．摆前你是怎么想的?
2．说说你是怎么摆的。
生：围成的长方形的宽是1米，长是8米，我想到一根小棒长1米，一个长方形有两个宽，共用2米。余下的16米摆两个长，每个长8米，正好摆出一个长方形。
生：围成的长方形的宽是2米，估计长用5米。两个宽共用4米，两个长共用10米，余下4米，加在两个宽上。这样宽4米，两个宽共8米，两个长10米，正好摆成一个长方形。
师：如果围成的长方形的宽是1米，长是几米?如果宽是2米，长是几米?请把符合要求的长和宽都一一列举出来，一共有多少组?小组
交流合作。
（师出示表格）
| 长方形的长（米） | 8 | 7 | ||
| 长方形的宽（米） | 1 |
生：要先求长方形长与宽的和。
生：用周长18米除以2得出9米，才能得出长与宽的和。
比较及分析
从“解决问题的策略”的例1的教学中，可以清楚地看出：案例一的执教老师先作基本训练后再学习新知，“基本训练”是累积性学习，因为在建构主义的学习中，一切新的学习都建立在以前学习的基础上或在某种程度上利用以前的学习。案例一正是基于认知研究的教学，提供了一个教学例1的较适用的框架。这个框架的最大特色是：教师胸有成竹，列举有序，达到不漏不多，省时高效。教师运用化归数学思想方法，进行基本训练，借此沟通旧知与新知，并补例作顺逆思维训练，为有序列举埋下伏笔。
值得一提的是案例一还有如下三点发人深省：其一，通过生活中的例子激起学生认识到想问题可以从不同的角度(正面、反面、侧面……)，为回答一个问题与计算两道逆向思维计算题作伏笔。要计算的两道题是逆向思维题，它是在学生学会已知长与宽求周长的旧知中展开的。其二，是用化归数学思想方法化“生知”为“熟知”，“化新为旧”，使学生顺利把握已知周长求长与宽的和的途径及其理由，较快地突破难点。因为我们的教材是遵循“螺旋上升”方式编写的，这样安排是顺理成章的事。其三，呈现最有效的“排序法”的实例，实际上这也就是为学生提供摆长方形的捷径，安排“当一个优秀营业员”的例子，表明教师着眼于“最近发展区”的提供，为学生的思维发展的主导作用创造了一个较好的环境。尤为重要的是教师站得高，望得远。能把鼓励学生学习的信心与培养学生会数学思想方法相互联系，备课时就形成了一个“课时框架”，这是难能可贵的。这个框架是教学的主轴，是“教学之魂”。透过这一点也可看出教师是科研型的教师、素质较好的教师。
相同内容的教例，两位老师的教法有些不同。
案例二，让学生自主探索、合作交流、动手操作，·体验周长与长、宽之间的关系及理解列举方法的基本途径。维果茨基指出：“儿童的全部心理生活是在交往过程中发展的，而表现为合作的教学正是最具有计划性与系统性的交往形式。”“儿童今天不能独立完成的事，往往有可能在教师与伙伴的帮助下完成．而明天他就能自己独立完成。”重要是教给学生自己学习的方法，而这一点案例二做得不到位。
案例二是教师提供信息(教材上的例1)并转换为适合学生学习的材料，鼓励学生自己去探索，在这个过程中，师与生、生与生展开交流合作。