不同的价值取向 不同的教学设计——小学数学《植树问题》两个不同教学案例的思考

课例研究 《植树问题》是人教版教材四年级下册第117～120页例1、例2、例3的内容。教材编排该教学内容，其主要目的是渗透一些与“植树问题”相关的数学思想方法。教材通过3个例题分别列举了“两端都栽”、“只种一端”、“两端都不栽”三种情形的植树问题事例，使学生通过生活中的事例，初步体会解决植树问题的思想方法，初步培养学生从实际问题中探索规律、找出解决问题的有效方法的能力，并让学生感受数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题，培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。
在实际的教学中，因为执教老师对“植树问题”教学中思维方式和价值取向不同，演绎出了截然不同的数学课堂。现将其中两种不同教学案例进行比较，供大家思考：
案例A ：
一、引入课题
情境出示：张伯伯想在小路一边种5棵树，你能帮他设计一下种树的方案吗？
（1）学生通过画图等方法尝试解答。
（2）汇报：①两端都种   ②只种一端   ③两端都不种  
（3）揭题：今天研究两端都种的植树问题。
二、探究新知
1.教学例1
（1）出示例题：同学们在长1000米的小路的一边栽树，每隔5米栽一棵（两端要栽），要准备多少棵小树苗？
（2）化繁为简，渗透思想。
1000米太长，不利于同学们思考，怎么办？可以先确定一个比较短的长度来研究，如20米。
（3）动手操作，初步探究。
同学们可以通过画一画、摆一摆等方法来解决这个问题
  （4）对比观察，感知规律。
如果让你们来栽树，在这条20米的小路上，每隔1米、2米、4米种树（两端要栽），一共要多少棵树苗？
出示表格，根据学生的回答将间隔填上。

总长	间隔（米）	间隔数（个）	棵数（棵）
20米（两端都栽）	5米	4个	5棵
	4米
	2米
	1米

谈论交流：两端都栽时，植树的棵数与间隔数之间有什么关系？得出结论：两端都栽树时，棵数比间隔数多1。也可以说间隔数比棵数少1。（5）巩固应用我们利用这个规律来算一算，两端都栽时，1000米应该种多少棵树？ 三、应用规律1.学校小路一侧插上12面彩旗，两头各插一面，每两面彩旗之间相隔6米，这条小路长多少米？2. 我们的城市建设正在火热进行中，市里决定在一条长2000米的街道两侧安装节能路灯，（两端都要安装），每隔50米安一座，算算看一共要安装多少座路灯？ 3. 工人架设电线杆，每两根电线杆之间的电线长100米，从第1根到第9根之间要拉多长的电线？案例B：一、操作与感悟——构建模型1.出示问题：20米长的一条路，在它的一边每隔5米种一棵，要种几棵树？（1）独立操作、尝试解答。（2）小组交流、全班汇报：①两端都种   20÷5＝4   4+1＝5（棵）②只种一端   20÷5＝4（棵）③两端不种   20÷5＝3   4-1＝5（棵）（4）交流思考：  三种种法，有相同点吗？为什么最后的棵数会不同？2.构建模型（1）思考：为什么会得到三种不同的结果？为什么有的种法最后算种树棵数时要加上1棵或减去1棵？ （2）结论：“两端都种”时：  棵数=间隔数+1    “只种一端”时：  棵数=间隔数     “两端不种”时：  棵数=间隔数-1   （师生交流过程中，教师演示间隔与点的一一对应关系）3. 小结，举例生活中类似的问题。二、解释与应用——解决问题1.同学们在全长100米的小路两边植树，每隔5米栽一棵。一共需要多少棵树苗？2.园林工人沿公路的一侧植树，每隔6米种一棵，一共种了36棵。从第一棵到最后一棵的路程有多远？3.为迎接“三八国际妇女节”，学校准备在教学楼前30米的道路一旁摆放鲜花栏（靠墙一端不放），现在有6盆花，请问平均每隔几米放一盆？
对两个案例比较：
1.教学内容的侧重不同。
案例A呈现植树问题的三种情况后，以“两端都栽”为重点展开学习内容，化繁为简，以多组数据来归纳“棵数＝间隔数+1”的规律，渗透的是“化归思想”，安排了“两端都种”为基本模型的求“棵树”的基本练习和求“总距离”的变式练习。案例B在教学内容的侧重点上与案例A有很大的不同，在解决“20米长的一条路，在它的一边每隔5米种一棵，要种几棵树？”这一问题时植树的问题的三种情况同时呈现，并对每一种情况都构建模型。还把这三种模型进行比较与沟通，渗透“一一对应”的数学思想，并根据三种模型安排了相应的练习。
2.教学着力点的不同。
案例A从一个问题入手，通过画图等方式让学生初步了解了植树问题的三种情况，接着以“两端都栽”为研究重点，在的解决问题中探究棵数与间隔数之间的关系；然后通过多组数据以及结合图示揭示出“两端都栽”的植树问题模型，并在尝试应用中巩固模型；最后在变式练习中让学生灵活解决生活中的植树问题。方案B的最大特点是让学生在通过动脑、动手、探究植树问题，教学的第一个环节“操作与感悟——构建模型”就是通过设计植树方案展现植树问题的三种模型，并对三种模型进行比较、沟通、深化，在第二个环节“解释与应用——解决问题”三个层的习题设计中，围绕每一种模型分基本题和变式题两个部分设计，让学生在练习与比较中巩固模型，最后是灵活运用植树问题的思想方法解决生活中的问题。
    3.教学价值的取向不同
从案例A可以看出该课的教学扎实而又实效，同时又注重体现数学味，它的价值取向在于是注重引导学生利用操作、画线段图分析数量关系，重视学生的独立思考，让他们自己去建构知识、探究解决问题的策略，同时通过把例题化繁为简作为学生学习研究的材料，从而渗透的是“化归”的数学思想方法。而案例B的教学让我们感受到该课的教学重点放在让学生积极参与探索并发现植树问题的基本规律，通过学习植树问题感受“一一对应”的数学思想方法，感悟数学建模的重要意义，从而激发学生对学好数学的兴趣和信心。
正因为两个案例的设计者思维方式的不同，价值取向的不同，所以有了这两个截然不同教学案例，谁是谁非？孰优孰劣？各有各的判断。
对两个案例的思考：
“植树问题”“在本课的教学设计中，解题不是主要的教学目的，主要的任务是向学生渗透一种思想，……”[①]“设计上的一个重要思考是向学生渗透一种思想，一种在数学上和研究问题方面都很重要的思想……”[②]可见“植树问题”的教学中教师普遍地对于数学思维给予了特别的关注。就相关的数学思想而言，很多老师在教学过程中强调了“化归思想”，但从实际教学效果来看，“模型的建立与应用”更应该成为教学活动的主线，“一一对应”思想更应该成为教学的核心思想，因为在“植树问题”的教学中“化归思想”并非是最能反映的数学思想，很难看出“化归思想”如何在“植树问题”的解答过程中得到了具体、合适地运用。就“植树问题”的教学而言，我们应该如何以“植树问题”为教学背景，通过不同的教学手段帮助学生建构起“植树问题”的数学模型；同时明确引出“间隔数”与“棵数”这两者的关系，突出“一一对应”的思想，并以此为基础并通过适当变化设出出不同情境下的问题，让学生通过解答这些问题的过程中了解“植树问题”各种各样的变化情况。