| 探索实际问题与一元一次方程 | |||||||||||||||
| 河北省迁安市扣庄中学 兰义元 | |||||||||||||||
| 一、教材分析 （一）教材的地位和作用 本节内容是一元一次方程应用的延伸与拓展，它进一步让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，同时又渗透了函数与不等式的思想，为以后内容学习奠定了必要的数学基础，本节内容具有承上启下的作用．学生能深刻地认识到方程是刻画现实世界有效的数学模型，领悟到“方程”的数学思想方法．总之，本节内容无论在知识上还是在数学思想方法上，都是十分很好的素材，能很好培养学生的探索精神、应用意识以及创新能力． （二）教材的重难点 本节的重点是探索并掌握列一元一次方程解决实际问题的方法．而方程的建模思想学生还是初步接触，寻找相等关系对学生来说仍相当困难，所以确定“找出已知量与未知量之间的关系，尤其是相等关系”为本节的难点之一，列方程解应用题的最终目标是运用方程的解对客观现实作出合理的解释，这是本节的难点之二． 二、教学目标分析 （一）知识技能目标 1．目标内容 (1) 结合生活实际，会在独立思考后与他人合作，结合估算和试探，列出一元一次方程解决本节的三个实际问题，并能解释结果的实际意义及其合理性． (2) 培养学生建立方程模型来分析、解决实际问题的能力以及探索精神、合作意识． 2．目标分析 (1) 本节的内容就是通过列方程、解方程来解决实际问题，这是必须掌握的知识，估算与试探的思维方法也很重要，这是发现和解决问题的有效途径． (2) 七年级的学生对数学建模还比较陌生，建模能突出应用数学的意识，而探索精神和合作意识又是课标所大力倡导的，因而必须加强培养学生这方面的能力． （二）过程目标 1．目标内容 在活动中感受方程思想在数学中的作用，进一步增强应用意识． 2．目标分析 利用方程解决问题是有用的数学方法，学生在前两节的数学活动中，有了一些初步的经验，但是更接近生活，更富有挑战性的问题则需要师生合作，探索解决． （三）情感目标 1．目标内容 (1) 在探索中获得成功的体验，激发学生学习数学的热情，享受与他人合作的乐趣，建立自信心． (2) 通过对实际问题的解决，进一步体会“数学来源于生活，且服务于生活”的辩证思想． 2．目标分析 七年级学生的年龄特征决定了他们好奇心强、思想活跃、求知心切．利用教材培养学生良好的学习习惯、方法和品质，这是落实新课标倡导的教育理念的关键． 三、教材处理与教法分析 本节内容拟定两课时完成，今天说课的内容是第一课时（探究Ⅰ、探究Ⅱ）．根据本节课的特点及七年级学生的心理特征和认知特征，本节课采用探索发现法进行教学，在活动中充分体现学生是学习的主人，教师是学习的组织者、引导者、合作者．本课借助多媒体辅助教学，给学生以直观形象的演示，增强感性认识，增强教学效果．课中以设疑提问、分组活动等方式，激发学生的兴趣，引导学生自主探索与合作交流，主动获得知识． 四、教学过程分析 （一）教学过程流程图 探究Ⅰ （二）教学过程Ⅰ （以探究为主线、形式多样化） 1．问题情境 (1) 多媒体展示有关盈亏的新闻报道，感受生活实际． (2) 据此生活实例，展示探究Ⅰ，引入新课． 考虑到学生不完全明白“盈利”、“亏损”这样的商业术语，故针对性地播放相关新闻报道，然后引出要探索的问题Ⅰ． 2．讨论交流 (1) 学生结合自己的生活实际，交流对“盈利”、“亏损”含义的理解． (2) 学生交流后，老师提出问题：某件商品的进价是40元，卖出后盈利25%，那么利润是多少？如果卖出后亏损25%，利润又是多少？（利润是负数，是什么意思？） (3) 要求学生对探究Ⅰ中商店的盈亏进行估算，交流讨论并说明理由．在讨论中学生对商店盈亏可能出现不同的观点，因此引导学生用数学方法解决问题，统一认识． (4) 师生互动，要知道究竟是盈是亏，必须先知道什么？从而引出要算出每件衣服的进价． 让学生讨论盈利和亏损的含义，理解其概念，建立感性认识；乍一看，大多数学生可能在大体估算后得到不亏不盈，直觉上也是如此，但要解决实际问题，还要知其原价（未知量），从这一分析引入未知量，为后面建立模型，做了必要的铺垫． 3．建立模型 (1) 学生自主探索，寻找已知量与未知量之间的关系，确定相等关系． (2) 学生分组，根据找出的相等关系列出方程，其中一组计算盈利25%的衣服的进价，另一组计算亏损25%的衣服的进价． (3) 师生互动：①两件衣服的进价和为________；②两件衣服的售价和为________；③由于进价________售价，由此可知两件衣服的盈亏情况． （教师及时给出完整的解答过程） 学生分组、计算盈亏；教师参与、适当提示；师生互动、得到决策．这样设计，让学生体会到合作交流、互相评价、互相尊重的学习方式，有利于学生知识的形成与发展，也有利于学生健康人格的养成．这样设计易于突出重点，突破难点，巩固应用一元一次方程作工具来解决实际问题的方法，也很好地让学生从已有的经验中、活动中，有意义地构建自己的知识结构，获得富有成效的学习体验． 4．小结 一个感悟：估算与主观判断往往与实际情况大相径庭，需要我们通过准确的计算来检验自己的判断． 培养学生科学的学习态度与严谨的学习作风． 探究Ⅱ （三）教学过程Ⅱ 1．在灯具店选购灯具时，由于两种灯具价格、能耗的不同，引起矛盾冲突． 恰当的问题情境激发学生探索的欲望，同时让学生体会到数学来源于生活，又服务于生活的实用性． 启发：选择的目的是节省费用，费用又是由哪些因素决定的？学生讨论得出结论： 2．列代数式 费用＝灯的售价＋电费 电费＝0.5×灯的功率（千瓦）×照明时间（时） 在此基础上，用t表示照明时间（小时）．要求学生列出代数式表示这两种灯的费用． 节能灯的费用（元）：60＋0.5×0.011t． 白炽灯的费用（元）：3＋0.5×0.06t． 分析各个量之间的关系，列出代数式，为后面列方程，并进一步探索提供了基础． 3．特值试探 具体感知 学生分组计算： t＝1000、2000、2500、3000时，这两种灯具的使用费用，填入下表：
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学生填完表格后，展示由表格数据制成的条形统计图．
引导学生讨论：从统计图表，你发现了什么？
问题的答案是多样的，师生共同得出：照明时间不同，作出的选择不同．
由于在前面的第二节，学生已经学过“两种移动电话计费方式”的一道例题，因此学生应该能较熟练地完成表格中的特值试探．又因为七年级学生的认知以直观形象为主，再给出统计图，完成特殊到一般，感性到理性的深化．
4．方程建模
观察统计图，你能看出使用时间为多少（小时）时，这两种灯的费用相等吗？
列出方程：
60＋0.5×0.011t＝3＋0.5×0.06t
5．合作交流
解释拓展
(1) 照明时间小于2327小时，用哪种灯省钱？照明时间超过2327小时．但不超过3000小时，用哪种灯省钱？
学生分组讨论，交流各自的看法．
(2) 如果计划照明3500小时，则需购买两个灯，设计你认为合理的选灯方案．
学生分组、讨论购灯方案只有三种：①两盏节能灯；②两盏白炽灯；③一盏节能灯、一盏白炽灯．
学生计算各种方案所需费用．
关于选灯方案③，学生可能会有不同的结果，先让学生充分展示他们的计算理由，然后对学生得出“使用节能灯3000小时，白炽灯500小时”的结论，给予充分肯定，并引导学生寻找理论依据，列式验证：
设节能灯的照明时间为t（小时），那么总费用为：
60＋3＋0.5×0.011t＋0.5×0.06（3500－t）＝168－0.0245t（0≤t≤3000）
观察上式可看出，只有当t＝3000时，总费用最低．
培养学生合作交流，倾听他人意见，并从交流中获益的学习习惯，综合各方面信息的能力．讨论2需要考虑的情形不只一种，通过这一问题，培养分类讨论的思想，养成缜密的思维品质．此处渗透着函数、不等式和分类讨论的思想，为后面学习实际问题提供了实践经验．
6．反馈练习
一家游泳馆每年6～8月出售夏季会员证，每张会员证80元，只限本人使用，凭证购入场券每张1元，不凭证购入场券每张3元，讨论并回答：
(1) 什么情况下，购会员证与不购证付相同的钱？
(2) 什么情况下，购会员证比不购证更合算？
(3) 什么情况下，不购会员证比购证更合算？
适时的反馈练习，以加深学生对这一知识的理解，逐步完善自己的知识结构．
（四）教学小结
学生分组小结“本课学到了什么”，各组发言交流体验、教师总结：
五、设计说明
七年级学生的年龄特征决定了他们好奇心强，思想活跃、求知心切．因此我从“以人为本”的理念出发，依据数学的工具性和人文性等特点，在整个教学活动中始终关注学生的发展，培养学生的创新精神与创新能力．
（一）充分尊重学生的主体地位
发挥学生的主体作用，坚持让学生自主探索、合作交流，展示学生的思维过程．
（二）树立方程建模思想
突出解释与应用，渗透函数、不等式、分类讨论等数学思想和方法，培养学生应用数学的意识．
（三）注重对学习过程与方法的评价
关注学生参与数学活动的热情，与他人合作的态度，以及独立地分析问题、解决问题的能力，力争让不同的人在数学上得到不同的发展．
(1) 某种商品因换季打折出售，如果按定价的七五折出售将赔25元；而按定价的九折出售将赚20元．问这种商品的定价为多少元？
(2) 某商店为了促销A牌高级洗衣机，规定在元旦那天购买该机可以分两期付款，在购买时先付一笔款，余下部分及它的利息（年利率为5.6%）在明年的元旦付清，该洗衣机售价是每台8 224元，若两次付款相同，问每次应付款多少元？
(3) 工厂甲、乙两车间去年计划共完成税利720万元，结果甲车间完成了计划的115%，乙车间完成了计划的110%，两车间共完成税利812万元，求去年两个车间各超额完成税利多少万元？
(4) 一辆汽车用40千米/时的速度由甲地驶向乙地，车行3小时后，因遇雨平均速度被迫每小时减少10千米，结果到达乙地时比预计的时间晚了45分钟，求甲、乙两地间的距离．
(5) 甲、乙两人合办一小型服装厂，并协议按照投资额的比例多少分配所得利润，已知甲与乙投资比例为3∶4，第一年共获利30 800元，问甲、乙两人可获利润多少元？
(6) 有人问老师班级有多少名学生时，老师说：“一半学生在学数学，四分之一学生在学音乐，七分之一的学生在读外语，还剩六名学生在操场踢球．”你知道这个班有多少名学生吗？
(7) 某人10时10分离家去赶11时整的火车，已知他家离车站10千米，他离家后先以3千米/时的速度走了5分钟，然后乘公共汽车去车站，问公共汽车每小时至少走多少千米才能不误火车？
综合运用
4．某市居民生活用电基本价格是每度0.40元，若每月用电量超过a度，超出部分按基本电价的70%收费．
(1) 某户五月份用电84度，共交电费30.72元，求a；
(2) 若该户六月份的电费平均为每度0.36元，求六月份共用电多少度？应交电费多少元？
5．为了鼓励节约用水，市政府对自来水的收费标准作如下规定：每月每户不超过10吨部分，按0.45元/吨收费；超过10吨而不超过20吨部分，按0.80元/吨收费；超过20吨部分，按1.5元/吨收费．现已知李老师家六月份缴水费14元，问李老师家六月份用水多少吨？
6．一支自行车队进行训练，训练时所有队员都以35千米/时的速度前进．突然，有一名队员以45千米/时的速度独自行进，行进10千米后调转车头，仍以45千米/时的速度往回骑，直到与其他队员会合．你知道这名队员从离队到与队员重新会合，经过了多长时间吗？
7．有8名同学分别乘两辆轿车赶往火车站，其中一辆轿车在距离火车站15千米时出现故障，此时离火车停止检票时间还有42分，这时惟一可以利用的交通工具只有一辆轿车，连司机在内限乘5人，这辆小轿车的平均速度为60千米/时．这8名同学都能赶上火车吗？
拓广探索
8．一家庭（父亲、母亲和孩子们）去某地旅游．甲旅行社说：“如父亲买全票一张，其余人可享受半价优惠．”乙旅行社说：“家庭旅行算集体票，按原价的
| 再探实际问题与一元一次方程（3） | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 云梦县教研室阮业广 云梦县道桥中学 夏 辉 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
教 学 任 务
教 学 流 程
教 学 过 程
设计说明：通过引导学生观察积分表，从中读取信息，让学生体会到数学源于生活并应用于生活，实现“问题——数学——问题”的数学模型，让学生感受到数不就在我们身边，明白方程是解决实际问题的一般模型。 注：本教学设计是云梦县道桥中学夏辉老师在“湖北省2005年初中数学使用新教材暨全国全省一等奖教师优质课展示活动”中的展示课中的教学设计，课堂教学效果较好。 < | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 有理数的乘方(第1课时) |
| 湖北省枣阳市杨当镇一中 杜亚林 |
教学任务分析 教学流程安排 课 前 准 备 教学过程设计 案例点评： 以在国际象棋上放米粒的故事引课，学习之后又解决这个问题，使课程既丰富多彩，又妙趣横生，也产生了前后呼应的效果。 该案例中，教学过程的设计符合新课程标准和课程改革的要求，通过教学情景创设和优化课堂教学设计，真正体现了在活动中学习数学，在活动中“做数学”，利用教具使教学内容形象、直观并具有亲和力，极大地调动了学生的学习积极性和热情，培养了学生学习数学的兴趣。教学过程始终坚持让学生自己去动脑、动手、动口，在分析、练习基础上掌握知识。整个教学过程都较好地落实了“学生的主体地位和教师的主导作用”，让学生体会到学习成功的乐趣。 |
| 有理数的乘方(第1课时) |
| 湖北省枣阳市杨当镇一中 杜亚林 |
教学任务分析 教学流程安排 课 前 准 备 教学过程设计 案例点评： 以在国际象棋上放米粒的故事引课，学习之后又解决这个问题，使课程既丰富多彩，又妙趣横生，也产生了前后呼应的效果。 该案例中，教学过程的设计符合新课程标准和课程改革的要求，通过教学情景创设和优化课堂教学设计，真正体现了在活动中学习数学，在活动中“做数学”，利用教具使教学内容形象、直观并具有亲和力，极大地调动了学生的学习积极性和热情，培养了学生学习数学的兴趣。教学过程始终坚持让学生自己去动脑、动手、动口，在分析、练习基础上掌握知识。整个教学过程都较好地落实了“学生的主体地位和教师的主导作用”，让学生体会到学习成功的乐趣。 |
再探实际问题和一元一次方程
梁子洲
教学任务的分析
教
学
目
标
知识
技能
1、能根据具体问题的实际意义，检验根的合理性。
2、会利用试误的方法比较两个代数式的大小关系。
数学
思考
能结合实际问题背景发现和提出数学问题。
解决
问题
学会列一元一次方程解决实际问题。
情感
态度
1、能根据实际问题中的等量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
2、学会与人交流，通过实际问题情景的体验，让学生增强学习数学的兴趣。
重
点
利用一元一次方程解决实际问题。
难
点
在实际问题背景下，如何选择恰当未知数解决实际问题。
教学流程安排
活动流程图
活动内容和目的
活动一 利用一元一次方程解决购票问题。
活动二 利用一元一次方程解决购灯问题。
小结
布置作业
活动1：由学生感兴趣的例子引入新课，可以吸引学生更积极的投入课堂！同时利用从感受到猜测，再到验证的数学方法令学生学会利用数学建模的思想来解决问题
活动2:在上一个问题解决的基础上，更进一步的利用一元一次方程来解决问题。
小结：由学生去梳理整个一节课的内容和数学学习方法。教师明晰。
布置作业：将本节课的知识延伸到课外
课前准备
教具
学具
补充材料
1、电脑.
4、多媒体演示文稿.
1计算器
解释电器的电功率问题。
教学过程
问题与情境
师生活动
设计意图
活动1
出示图片，引入课题。
问题1：我们班级有47名学生，现在想要组织同学们去参观世界园艺博览会，世圆会采用如下方式售票：单人票价50元，如果达到50人（50人或50人以上），则优惠总票价的5%，那么请同学们思考，我们班级该怎样去买票呢？
师：出示一组沈阳市世界园艺博览会的照片，并提出问题。
生：思考、计算并回答。
教师关注：学生是否对于该问题感兴趣，是否可以很积极的参与课堂？
1、从学生身边熟悉的事物着手进行研究，进而引起学生的学习兴趣。
2、引导学生利用小学学过的算术方法对问题进行研究，进而可以和后面将要研究的利用方程解决问题的行为形成对比。
问题2：其他班的学生人数如果低于50人，该如何购票？
师：提出问题。
引导学生利用带入特殊值的方法解决问题。
生：分组思考、讨论。
引导学生学会当人数不确定时利用算术方法解决该问题。
问题3：我们能用一元一次方程的知识来解决这个问题吗？
师：提出问题。
同时布置小组合作学习的任务和要求：
（1） 要求活动中一人进行记录，至少三人或三人以上进行计算。
（2） 要提醒学生注意自己组内每位同学的意见，学会倾听别人的意见。
（3） 生：活动。
教师关注：
（1） 学生是否能够很积极的投入到活动中来，是否可以每个人拿出自己的意见。
（2） 研讨时间。
1、增强学生的合作意识。
2、在活动中，注意培养学生的求异思维。
3、提高学生在小组合作中的效率。
4、活动中，即使是基础较差的学生，也会有自己的想法和做法，可以激励学生
去思考和解决问题，进而使不同的学生在数学上得到不同的发展。
（3） 学生是否能够很顺利的寻找到问题中所存在的等量关系。
5、学生从小学的算术方法解决问题过渡到利用一元一次
方程解决问题，体验了知识从特殊到一般的过程。
6、培养学生利用方程的思想解决问题的习惯。
问题5：你是怎样得出这个结论的？你能验证它吗？
师：提出问题。
生：思考并回答问题。
教师关注：
学生需要从大小两个方面进行验证，观察学生的思维方向是否全面。
1、让学生体验数学知识从猜想到结论的出现，再到验证的全过程。
2、培养学生的估算意识。
3、让学生使用计算器，可以更好的使用现代的计算工具。
4、发展学生分类讨论的能力。
活动2
问题1：小明想在两种灯里选购一种，其中一种是11瓦，（即0.011千瓦）的节能灯，售价60元；另一种是60瓦（即0.06千瓦）的白灯，售价3元，两种灯的照明效果一样，使用寿命也相同（3000小时以上）。节能灯售价高，但是较省电；白灯售价低，但是用电多。如果电费是0.5元/（千瓦时），选哪种灯可以节省费用（灯的售价加电费）？
师：提出问题。解决问题前应先解释一下什么是功率。
生：学生独立思考并解决问题。
教师关注：
在刚才已经解决的问题得到的数学经验基础上，学生是否能够想到设处未知数解决问题。
1、发展学生利用未知数来表示具体数量的能力。
2、培养学生方程建模的思想。
3、 进一步积累数学经验。
问题2：如何说明你的猜想是正确的呢？
教师：提出问题。
生：思考并解决问题。
进一步让学生明白一个结论的出现应该是建立在已经验证是正确的基础上的。
问题3：假设两种灯的使用寿命为3000小时，现在如果计划照明3500小时，则需要购买两个灯，试设
教师：提出问题。
生：分组合作交流。
教师关注：学生是否能够利用上题中感受——猜测——验证这种科
1、进一步让学生学会分类讨论的方法。
2、这个问题有很高的难度，可以最大限
计你认为能省钱的选灯方
案。
学的认知方法来解决问题。
度的对学生的认知发起挑战，能提高学生的学习兴趣，给基础较好的学生提供思维继续深入发展的机会，可以让不同的学生在数学上得到不同的发展。
3、真正呈现出数学来源于生活，要反作用于生活。
小结
由学生谈体会，与学生分享自己所学的知识和感受，一起进行交流。
教师明晰
尽可能让学生梳理本节课的知识脉络和数学方法，还可以让学生在情感态度价值观方面谈出自己的体会，将该节课进行画龙点睛。
布置作业
1、习题2.4----6题、8题。
2、通过网络查询来调查一下沈阳各个旅游景点的买票方式，为我们同学的出游设计最佳的购票方案。
3、作一组调查，看看自己家所使用各类电灯价格和使用寿命，进而替妈妈设计家里最省钱的用灯方案。
将本节课的知识延伸到课外，在应用方程建模思想解决问题的同时，提高学生应用数学的能力，让学生感觉到数学在人们生活中的作用，进而对数学产生更大的兴趣。
教学设计说明
本节课借助于两个具有实际背景的问题来培养学生列方程解应用问题的能力。
整个学习过程的设置，充分以学生已有的生活经验和数学经验为前提，以培养学生利用方程解决实际问题为目标，以新课程标准为指导思想。在活动一中，重点引导学生由小学的算术方法解决问题转化到利用方程建模的思想解决问题。活动二则在活动一的基础上，引导学生利用刚刚掌握的方法直接列方程解决实际问题，进一步在问题的解决基础上，更深一步提出了最优化选择的问题，这个问题其实更适合应用不等式或线性方程来解决，安排在这里，是使学生除了建立一种利用数学建模的方法解决问题外，还可以为将来研究和学习不等式及线性方程打下基础。
小结中，注重引导学生梳理出本节课的知识脉络，同时让学生感受利用方程建模思想解决问题的思维习惯。
在布置课后作业中，分为两层，首先要求学生利用寻找等量关系列一元一次方程的方法解决实际问题，另外，通过两个课后调研的开放性问题，培养学生应用数学的能力，令学生感受到数学来源于生活，也要反作用于生活。
本节课在教学方法上，从问题情境——自主探究——合作交流——归纳应用。可以更好的培养学生的独立解决问题和群体决策的能力。
此作品为第五届全国初中青年数学教师优秀课观摩与评比活动说课教案